[게임수학] 함수
[게임수학] 함수
함수 (Function)
두 집합에서 첫 번째 집합의 모든 원소가 빠짐없이 두 번째 집합의 어떤 원소에 대응하는 관계를 의미한다.
함수로 인정받는 조건
▹ 첫 번째 집합의 모든 원소에 대한 대응 관계가 존재해야 한다.
▹ 첫 번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에만 대응되어야 한다.
정의역과 공역
정의역 : 함수에서 왼쪽에 위치한 첫 번째 집합이다.
공역 : 오른쪽에 위치한 두 번째 집합이다.
치역 : 공역의 모든 원소가 정의역에 대응할 필요는 없다. 그렇기 때문에 정의역에 대응되는 공역의 원소들을 치역이라고 한다.
정의역 공역
X → y = f(x) → Y
입력(input) 출력(output)
함수의 종류
전사함수 (Surjection)
공역의 모든 요소가 정의역에 대응되는 함수이다. 공역과 치역이 같으며 다를 경우 전사함수가 아니다.
단사함수 (Injection)
정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응되는 함수이다. 만약 정의역의 다른 요소가 공역의 같은 요소를 가리킨다면 그것은 단사함수가 아니다.
전단사함수 (Bijection)
정의역과 공역의 요소가 모두 빠짐없이 일대일로 대응되는 함수이다. 즉, 전사함수와 단사함수의 성질을 모두 만족하는 함수이다.
합성함수
두개의 함수를 연쇄적으로 이어서 하나의 함수로 만드는 연산을 함수의 합성이라 한다.
f(x) ∘ g(x) = (g ∘ f)(x) or g(f(x))
▹ 합성함수를 이항연산으로 규정하면, 합성함수는 결합법칙이 성립한다.
항등함수(Identify Function)
수의 연산에서 항등원과 동일한 개념으로 정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수를 말하며 기호는 id이다.
역함수 (Inverse Function)
어떤 함수와 역함수를 합성한 결과는 항등함수가 된다. 즉, 어떤 함수를 항등함수로 만들수 있는 함수이다.
f^-1 ∘ f = id
f ∘ f^-1 = id
곱집합 (Cartesian Product)
함수는 두 집합에서 첫 번째 집합과 두 번째 집합의 관계를 의미했지만, 곱집합이란 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶은 원소의 집합을 의미한다. 집합 A와 B가 있고 각 집합에 속하는 원소를 a와 b로 했을 때 집합 A와 B의 곱집합은 A X B 이다.
그리고 곱집합의 요소인 a와 b는 (a, b)인 순서쌍으로 묶어서 표현한다.
두 실수 집합의 곱집합을 직선으로 표현하면 2차 평면이 나온다. 그리고 이 평면에 또 실수 집합을 곱집합으로 설정하면 3차원 공간이 된다. 함수의 기본 개념과 용어를 살펴보았는데 이것은 더 나아가 트랜트폼과 행렬을 위한 선행학습이라고한다.